Krzysztof Cywiński od pięciu lat testował na korepetycjach swój podręcznik, który ostatnio wydał pod tytułem: „Matematyka dla humanistów, dyslektyków i... innych przypadków beznadziejnych”. – W Polsce mądrzej uczy się wuefu niż matematyki – mówi Cywiński. Wiadomo, że wiedza jest hierarchiczna. Na lekcji wychowania fizycznego nikt uczniowi nie każe zrobić salta, kiedy ten nie potrafi wykonać prostego przewrotu. – Tymczasem nasza młodzież w większości nie rozumie podstawowych pojęć, a zmusza się ją do rozwiązywania zadań z coraz wyższych poziomów matematycznej abstrakcji. Właśnie do wykonywania matematycznego salta.
Wniosek Cywińskiego: w szkołach mamy do czynienia z terrorem i psychicznym znęcaniem się osób odpowiedzialnych za redagowanie programów i ich nauczanie. Stąd już prosta droga do powstania tzw. lęku matematycznego.
Cywiński tak długo wprowadzał poprawki do kolejnych wersji swojej książki, aż uczniowie – będący na różnych etapach edukacji − przestali pytać o dodatkowe wyjaśnienia.
W podtytule Cywiński informuje, że podręcznik uczy przekształcania wzorów i rozwiązywania równań, a więc dwóch podstawowych matematycznych umiejętności, potrzebnych od piątej klasy szkoły podstawowej przez cały dalszy okres nauki. Również na studiach. I nie tylko w edukacji matematycznej, bo bez nich nie sposób rozwiązywać zadań z fizyki, chemii, a także geografii.
Przygoda życia
Artur Karmasz, przedsiębiorca, zapisał syna na korepetycje z matematyki. – Przeszedł ciężką chorobę, która spowodowała ograniczenie zdolności uczenia się w ogóle, a matematyki w szczególności, czyli jak najbardziej był to przypadek beznadziejny – wspomina Karmasz. Po lekcjach u Cywińskiego po raz pierwszy dostał z klasówki z matematyki czwórkę. – To było rodzinne wydarzenie.
Karmasz, z profesji wydawca, mówi, że początkowo dość sceptycznie, a nawet ironicznie, podchodził do zapewnień Cywińskiego, że każdego jest w stanie nauczyć matematyki i wyprowadzić przynajmniej na trójkę. – Nabrałem szacunku, kiedy zobaczyłem, że trudnych uczniów, nie tylko mojego chłopaka, potrafi skłonić do rozwiązywania przez trzy godziny czasami nawet 200 zadań. Tym mu zaimponował i dlatego Karmasz pomógł w wydaniu książki. – To może być edukacyjna przygoda życia – wierzy.
Sam Cywiński twierdzi, że nie istnieje żadna przyczyna uniemożliwiająca nauczenie się matematyki. – Oczywiście na poziomie, jaki będzie nam w dalszej nauce i pracy potrzebny – podkreśla. Czyżby w naszym kraju, w którym od lat rosną pokolenia matematycznych analfabetów, pojawiła się cudowna metoda przyswajania przedmiotu od pokoleń budzącego w uczniach lęk?
Pokonać strach
– Proszę nie spodziewać się rewolucji – studzi nadzieje prof. Jerzy Mioduszewski, matematyk z Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach. Mioduszewski jest bardzo krytycznie nastawiony do metod nauczania matematyki w polskich szkołach. Jego rodzinna historia potoczyła się tak, że przez ponad rok w czasie II wojny światowej uczył się na ziemiach wschodnich matematyki z podręczników radzieckich. – To były najlepsze podręczniki, z jakimi miałem do czynienia – przekonuje. Oszczędne w słowach, rozwijające wyobraźnię i nieprzeuczające młodzieży. – Bo jak mnie przeuczą, to ja potem tej matematyki mam dość.
– Z kolei w polskiej szkole zwraca się uwagę na formalną stronę nauczania. Zamiast tłumaczenia, o co chodzi, bije się ucznia po łapach za każdy błąd – dodaje profesor.
Sporo rozmawiał z Cywińskim o niemocy polskiej szkoły w uczeniu matematyki, choć do jego propozycji miał i ma wiele uwag. – Ale rozumiem opracowanie pana Cywińskiego jako polemikę z autorami wielesetstronicowych podręczników, które zamiast uczyć matematyki, rozbudowują jej pisownię. Prof. Mioduszewski przypomina, że radzieckie podręczniki miały po sto stron i to wystarczyło, aby klarownie wszystko wytłumaczyć.
Tomek Kozioł, uczeń drugiej klasy gimnazjum, napisał w swojej uczniowskiej recenzji „Matematyki...” Cywińskiego, że gdyby w szkole były takie książki, to nie trzeba byłoby w ogóle chodzić do szkoły. Trochę przesadził. – To opracowanie może być kolejnym krokiem na drodze pokonywania matematycznego lęku, na który cierpi większość Polaków – w tym prof. Mioduszewski dostrzega wartość książki. Ale do przezwyciężenia lęku potrzebna jest przede wszystkim rozmowa z uczniem. – Bez niej każdy podręcznik, każde opracowanie będą martwe.
W matematyce gubią się nie tylko dzieci – napisał prof. Mioduszewski we wstępnej opinii o książce Cywińskiego. Fizycy teoretycy znają dwa rodzaje książek matematycznych. Pierwsze, które odkładają, nie doczytując pierwszej strony, a drugie to te, które odkładają po pierwszym zdaniu. Problemem jest przekroczenie progu abstrakcji. Wystarczy jednak przekroczyć ten próg, by przekonać się, że jedynie on był straszny.
– Jeżeli opracowanie pana Cywińskiego będzie pomocne w przekroczeniu tej przeszkody, to dobrze – kończy prof. Mioduszewski.
Dar, nie dyplom
Można się spodziewać, że 80-stronicowa „Matematyka...” zostanie rozebrana na matematyczne czynniki pierwsze, a sam autor prześwietlony aż do bólu. – W papierach mam tylko ukończoną szkołę średnią – przyznaje Cywiński. I pięć semestrów studiów w latach 80., w tym wyższej matematyki, w Wyższej Szkole Oficerskiej Wojsk Rakietowych i Artylerii w Toruniu. Ma za sobą rok pracy w szkole górniczej. Wtedy po raz pierwszy miał do czynienia z pokonywaniem matematycznego oporu przypadków beznadziejnych. Uważa, że ma dar indywidualnego opowiadania matematyki. – Może bierze się to stąd, że oprócz krótkiego epizodu generalnie nie zostałem skażony pracą w szkole.
Kiedyś kolega poprosił Cywińskiego o podciągnięcie w matematyce syna, który szykował się do egzaminów. – Ten epizod zmienił moje życie – uważa Cywiński. – Dobrze zdałem korepetytorski egzamin, ale kiedy chłopak zapytał mnie, dlaczego w takiej, a nie innej kolejności pokazuję drogę do rozwiązania zadania, to nie potrafiłem rozsądnie wytłumaczyć. Bo tak się robi, wszyscy tak robią. Dla zawodowych matematyków i uzdolnionych uczniów jest to proste. A dla innych?
– Zacząłem wciągać się właśnie w uczenie tych innych – mówi Cywiński. Sam starał się jak najdokładniej przestudiować historię matematyki w interesujących go obszarach, przeczytał lub przewertował ok. 3 tys. podręczników. – W żadnym nie znalazłem ogólnej i uniwersalnej zasady rozwiązywania równań – twierdzi. I podkreśla: – Uważam, że udało mi się znaleźć taki algorytm (skończony i uporządkowany ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego rodzaju zadań). Polega on na powtarzaniu przez ucznia procedury dwóch kroków, która zawsze prowadzi do sukcesu – czyli poprawnego przekształcenia wzoru. Co więcej, dzięki temu opracowaniu uczeń zostaje wyposażony w pewnik wyboru, czyli wie, dlaczego operacje matematyczne stosuje w takiej, a nie innej kolejności.
Drogę, jaką wskazują dotychczasowe podręczniki, można porównać do montażu mebli bez instrukcji obsługi. – Ma pan skręcić komplet mebli, ale bez instrukcji montażu, a co więcej, bez bladego pojęcia, jak te meble ostatecznie mają wyglądać – mówi Cywiński. Pracownik sklepu, który zawodowo zajmuje się montażem, błyskawicznie dostrzega, czy jakaś część jest elementem kanapy lub sofy. Jemu żadna instrukcja skręcania nie jest potrzebna. Na dodatek może to wykonać na kilka sposobów, w różnej kolejności, w zależności od tego, który element znajdzie się właśnie pod ręką. – Jeżeli zapytamy go, dlaczego skręca meble w ten, a nie inny sposób, wzruszy ramionami: przecież tak się to robi, zawsze tak się robiło! – ciągnie Cywiński. – Pan może próbować montować metodą prób i błędów, może się uda, choć jakieś części zostaną albo ich zabraknie... W praktyce większość osób zniechęca się do takiego skręcania w ciemno.
Dla zawodowych matematyków czy fizyków rozwiązywanie równań liniowych jest tak proste i oczywiste jak wkręcanie przez fachowców śrubek we właściwe miejsca. – Jeżeli zapytamy jednych i drugich, dlaczego w takiej, a nie innej kolejności wykonali jakąś operację, odpowiedzą zgodnie: bo tak się robi! – mówi Cywiński.
Rozwiązanie problemu matematycznego – odpowiadające montażowi mebli bez instrukcji – określane jest jako kombinacyjne. Jeżeli jednak uda się znaleźć matematyczną instrukcję rozwiązywania równań, przybiera ona postać algorytmu, który precyzyjnie określa co, w jakiej kolejności i dlaczego się robi. Nasz świat zmaga się z równaniami liniowymi przynajmniej od 2 tys. lat, zastanawia więc, dlaczego dotychczas – przed Cywińskim − nie znaleziono ogólnego algorytmu do ich rozwiązywania.
– Ponieważ go nie szukano! – odpowiada Cywiński. Może również dlatego – podpowiada – że nie słyszał o przypadku, aby jakiś profesor wyższej uczelni kształcącej nauczycieli pracował również w szkole podstawowej czy innej. − Gdyby tak było, zapewne ten algorytm dawno byłby już w podręcznikach. Ale zawodowi matematycy takiego algorytmu, oczywiście, nie potrzebują.
Jak maszyna parowa
Dla kogo jest więc algorytm Cywińskiego i jego „Matematyka...”? – To instrukcja obsługi wzorów i równań dla uczniów przeciętnych i słabych, dla humanistów i przypadków beznadziejnych, i dla wszystkich, których paraliżuje matematyczny lęk, czyli gdzieś dla 90 proc. młodzieży – wylicza Cywiński.
Na wszystko ma gotową odpowiedź. Kiedy anonimowy nauczyciel matematyki wytknął mu, że jego algorytm nie jest czymś nowym, zatem nie można mówić o odkryciu, odpowiedział cytatem z książki prof. Marka Kordosa „Wykłady z historii matematyki”: „Ponoć jednostajną zbieżność wymyślił Gudermann w 1838 r., a potem jeszcze Stokes i Seidel. Było to jednak tak jak z maszyną parową Herona (Heron z Aleksandrii w I w n.e. skonstruował i demonstrował tzw. banię, pierwowzór maszyny parowej – red.) – ale wszyscy wiedzą, że zrobił to półtora tysiąca lat poźniej Watt, bo on zrobił z niej użytek”.
Burza związana z algorytmem i „matematyką dla głupich”, bo i tak złośliwie tytułowana jest książeczka Cywińskiego, dopiero przed nami. Sabina Chorzelewska z Zabrza wie swoje: − Wyciągnął mi Patrycję z dwójek i jedynek, oraz ze strachu przed matematyką, na piątki – mówi. – Córka polubiła matematykę. Chorzelewska tak zrecenzowała „Matematykę...”: – Z takiej książki każdy głupi może się nauczyć matematyki. Nawet ja.
Co do honorariów za korepetycje, Cywiński mówi, że w nauczaniu matematyki trzyma się tych samych zasad, które obowiązują w każdej innej działalności usługowej. Wynagrodzenie bierze za wykonaną robotę. – Dwie jedynki pod rząd mojego ucznia i tracę pracę. Kryteria są więc o wiele surowsze niż dla trenerów piłkarskich. Ciekawe, jaki będzie wynik meczu na większym boisku.